Aula BCAM-UPV/EHU: La conjetura arco-Floer. Cuando la aritmética topa con los sistemas hamiltonianos

La charla será en Castellano. 

Abstract:

En los años 80, el matemático japonés Jun-ichi Igusa observó una misteriosa relación entre la aritmética y la topología de las hipersuperficies algebraicas. Más concretamente, advirtió que al tomar un polinomio f con coeficientes enteros y considerar el número de soluciones de la ecuaciones f ≡ 0 módulo n, se obtenían ciertos invariantes topológicos del espacio {f = 0} ⊂ C d . Estas observaciones dieron lugar a la hoy conocida como conjetura de la monodromía, la cual atrajo rápidamente el interés de la comunidad de geometría algebraica al establecer una conexión entre la teoría de números y la teoría de singularidades. A pesar de haber sido verificada en varios casos, a día de hoy esta conjetura está lejos de estar resuelta. No obstante, el problema ha promovido avances en otras áreas relacionadas, como la integración motívica, la geometría no-arquimediana o la teoría de modelos. Más recientemente, los matemáticos Budur, F. de Bobadilla, Lê y Nguyen propusieron otra línea para abordar la conjetura explotando las propiedades simplécticas de la singularidad {f = 0}. De esta manera formularon una segunda conjetura en la misma filosofía que la de la monodromía: la conjetura arco-Floer. En este caso, los objetos aritméticos estarían relacionados no solo con la topología de la singularidad, sino con las teorías Floer propias de la topología simpléctica. En esta charla se introducirá a los estudiantes a las conjeturas de la monodromía y de arco-Floer, y se explicará el estado actual de las mismas.