BCAM-Severo Ochoa Course: Introducción a la geometría simpláctica

PLEASE, NOTE THAT THE STARTING DAY HAS CHANGED
DATES: 15 to 24 November 2022. Monday to Thursday (8 sessions)
TIME: 15:00-16:00 (a total of 8 hours)
LOCATION: Room 2.2 at Science and Technology faculty (UPV/EHU)

Note that this course will be given in Spanish

Inaugural lecture:
Sympletic wars part II: Flexibility strikes bark by Francisco Presas (ICMAT)

Complementary lecture:
Morse Homology by María Pe Pereira (UCM)
Characteristics classes by Jose Seade (UNAM)

Pre-course: for those who need to develop a background, upon request there will be a pre-course Guided reading in algebraic topology given by Eki Gonzalez (BCAM).


DESCRIPCIÓN
Con este curso de introducción a la geometría simpláctica se pretende ampliar la formación geométrica y topológica de los estudiantes graduados en matemáticas y de física teórica así como la de los estudiantes del Máster Modelización e Investigación Matemática, Estadística y Computación.

A diferencia de la geometría de Riemann, en la cual la curvatura es un invariante local, en geometría simpláctica no existen invariantes locales. De hecho, por el Teorema de Darboux, la estructura local de una variedad simpláctica es la estructura estándar del espacio Euclídeo y, por tanto, todas las variedades simplácticas de la misma dimensión son localmente difeomorfas. La ausencia de invariantes locales, que permitan clasificar las variedades simplácticas, conduce al estudio del grupo de difeomorfismos que preservan la estructura simpláctica, esto es, al estudio del grupo de simplectomorfismos.

El curso que se propone tiene una duración de 10 horas, y consta de tres partes distribuidas como sigue. En la primera parte del curso, de 5 horas de duración, se espera que los estudiantes se familiaricen con el concepto de variedad simpláctica, simplectomorfismo, subvariedad simpláctica y subvariedad lagrangiana. Se muestra el teorema de Darboux y el teorema de estabilidad de Moser.

Puesto que una forma simpláctica sobre una variedad define un isomorfismo entre el
fibrado tangente y el fibrado cotangente de dicha variedad, aparecen de forma natural los campos de vectores Hamiltonianos, estos son los campos de vectores correspondientes a las diferenciales de funciones; por tanto, se pueden considerar como los campos de vectores análogos a los gradientes de funciones en geometría de Riemann. La segunda parte del curso, de 3 horas de duración, se dedica a los campos de vectores simplácticos, campos de vectores Hamiltonianos, y los sistemas Hamiltonianos integrables. Se introduce el corchete de Poisson sobre una variedad simpláctica y se establece el teorema de Arnold-Liouville.

El hecho de que cualquier variedad simpláctica posee una estructura casi compleja, compatible con la forma simpláctica, establece un vínculo entre la geometría simpláctica y la geometría compleja, y es el punto de partida del estudio de curvas pseudoholomorfas realizado por Gromov. En la tercera parte del curso, de 2 horas de duración, se revisa el concepto de variedad casi compleja, variedad compleja y variedad Kéhler. Se consideran las fibraciones simplácticas 2 y se muestra el ejemplo de Thurston, esto es, el primer ejemplo de variedad compacta y simpláctica, de dimensión cuatro, que no admite ninguna estructura Kéhler.

PROGRAMA
1. Variedades simplácticas. Ejemplos. Simplectomorfismos. Subvariedades. Subvariedades simplácticas de Donaldson. Subvariedades Lagrangianas del fibrado cotangente. Simplectomorfismos y subvariedades Lagrangianas. Teorema de Darboux. Teorema de Morse.
2. Campos de vectores simplácticos y campos de vectores Hamiltonianos. Corchete de Poisson sobre una variedad simpláctica. Sistemas Hamiltonianos integrables. Teorema de Arnold-Liouville.
3. Variedades complejas. Estructuras casi complejas. El tensor de Nijenhuis. Teorema de Newlander y Nirenberg. Estructuras casi complejas sobre una variedad simpláctica. Variedades Kéhler. Fibraciones simplácticas. El ejemplo de Thurston.

Entre los libros clásicos en esta materia se encuentran las referencias [1], [3], [4], [5],
[14], [15] y [22]. Como libros de texto se incluyen las referencias [8] y [17], y como material de consulta las referencias [2], [6], [7], [9], [13], [16], [19], [21] y [23].


BIBLIOGRAFÍA:
[1] R. Abraham, J. E. Marsden: Foundations of Mechanics, second edition, Addison-Wesley, Reading, 1978.
[2] M. Abreu: Topology of symplectomorphisms groups of S2- S2, Invent. Math. 131 (1998), 1-23.
[3] V. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Graduate Texts in Math. 60, Springer-Verlag, New York, 1978.
[4] V. Arnold: First steps of symplectic topology, VIIth International Congress on Mathematical Physics (Marseille 1986), 1-16, World Sci. Publishing, Singapore, 1987.
[5] M. Atiyah, R. Bott: The moment map and equivariant cohomology, Topology 23 (1984), 1- 28.
[6] W. Ballmann: Lectures on Kéhler manifolds, ESI Lectures in Mathematics and Physics, European Mathematical Society, 2006.
[7] R. Bott, L. W. Tu: Differential Forms in Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1982.
[8] A. Cannas da Silva: Lectures on Symplectic Geometry, Springer 2008.
[9] M. P. do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1993.
[10] S. Donaldson: Symplectic submanifolds and almost complex geometry, J. Differential Geom. 44 (1996), 666-705.
[11] Y. Eliashberg, L. Traynor (Eds): Symplectic Geometry and Topology, lectures from the Graduate Summer School held in Park City, 1997, IAS/Park City Mathematics Series 7, Amer Math. Soc., Providence, 1999.
[12] W. Fulton: Introduction to Toric Varieties, Annals of Math. Studies 131, Princeton Univ. Press, Princeton, 1993.
[13] M. Gromov: Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds, Invent. Math. 82 (1985), 307-347.
[14] M. Gromov: Partial Differential Relations, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1986.
[15] V. Guillemin, S. Sternberg: Symplectic Techniques in Physics, second edition, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990.
[16] J.L. Koszul, Y.M. Zou: Introduction to Symplectic Geometry, Springer Nature Singapore Pte Ltd. and Science Press, 2019.
[17] D. McDuff, D.Salamon: Introduction to Symplectic Topology, Oxford Univ. Press Inc., New York, 1998.
[18] W. P. Thurston. Some simple examples of symplectic manifolds. Proc. Amer. Math. Soc., 55 (1976), 467-468.
[19] A. Tralle, J. Oprea: Symplectic manifolds with no Kéhler structure, Lecture Notes in Math. 1661, Springer Verlag, 1997.
[20] L. W. Tu: An introduction to manifolds, Universitext, Springer, 2008.
[21] F. Warner: Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer-Verlag, 1983.
[22] A. Weinstein: Lectures on Symplectic Manifolds, Regional Conferences Series in Math.
29, Amer. Math. Soc., Providence, 1977.
[23] R. O. Wells: Differential Analysis on Complex Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 65, Springer, New York, 3ª edición, 2008.
[24] G. E. Bredon, Introduction to compact transformation groups, Academic Press 1972.
[25]J.M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds, second Edition, Graduate Texts in Math. 218.
Springer, New York, 2013.
[26]B. O´Neill: Semi-Riemannian Geometry with applications to Relativity. Academic Press,
Inc. 1983


*Registration is free, but mandatory before 9 November 2022 To sign-up go to form link and fill the registration form

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