Miembros de BCAM presentan dos pruebas diferentes de una conjetura matemática

• Javier Fernández De Bobadilla e Irma Pallarés han publicado un artículo en el Journal of the European Mathematical Society y otro que está en revisión que presentan dos pruebas diferentes para una conjetura en singularidades

Investigadores del Basque Center for Applied Mathematics - BCAM, Javier Fernández de Bobadilla, investigador Ikerbasque en BCAM, e Irma Pallarés, antigua doctoranda en BCAM, han dado dos pruebas (la segunda junto con M. Saito, en el RIMS, Tokio) de la conjetura de Brasselet-Schürmann-Yokura, una importante conjetura en clases características de variedades singulares. A continuación, se explican los antecedentes y la importancia de la conjetura.

Formas geométricas suaves y singulares

La geometría es una de las áreas más antiguas de las matemáticas, motivada por la modelización del mundo físico. Una parte de la geometría estudia formas suaves, como curvas suaves, como el círculo, o superficies suaves, como la esfera, pero también objetos de dimensión superior. Aunque las variedades lisas surgen en la naturaleza de forma significativa, también aparece otro fenómeno de forma inevitable y ubicua. Por ejemplo, hay lugares en el universo donde nuestras leyes de la física simplemente se rompen, como en los centros de los agujeros negros y al principio del Big Bang, estos lugares especiales se llaman singularidades. En matemáticas, cuando aparecen puntos singulares en objetos geométricos los llamamos variedades singulares, es decir, formas geométricas que contienen esos puntos especiales. La geometría de los espacios lisos y singulares es crucial para el avance de las ciencias naturales. Por ejemplo, las variedades lisas y singulares fueron esenciales en la teoría general relativa de Einstein, pero también son importantes en la teoría cuántica de campos o en la geodesia de la Tierra.

Breve marco histórico de la conjetura

La curvatura de curvas, superficies y espacios de dimensiones superiores como nuestro universo se estudia desde el siglo XIX. Un teorema emblemático, demostrado en 1848 por Gauss y Bonnet, es una fórmula que relaciona la integral de la curvatura de un espacio con un número clásico asociado a él llamado característica de Euler. La importancia de esta fórmula radica en que una integral difícil que comprenda datos rígidos como la curvatura se expresa en términos de la característica de Euler, que es fácilmente computable, y sólo depende de la forma del objeto hasta deformaciones flexibles. Por ejemplo, la característica de Euler de un poliedro es simplemente el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras, y para una superficie como los donuts con varios agujeros, está relacionada con el número de agujeros. La curvatura pertenece al mundo rígido de la geometría métrica y la característica de Euler al mundo flexible de la topología. La topología es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades que se conservan a través de deformaciones, giros y estiramientos de objetos geométricos.

Muchos teoremas se demostraron con el mismo espíritu, por ejemplo, en 1865, Riemann y Roch demostraron una fórmula que relacionaba el análisis complejo de ciertas superficies lisas con su característica de Euler. De nuevo, el teorema de Riemann-Roch relaciona información de dos naturalezas muy distintas, la topológica y la analítica, siendo la primera, en el sentido antes mencionado, más flexible y computable que la segunda. La llegada de nuevas herramientas en topología, proporcionadas por la teoría de las "Clases características", introducida por Stiefel y Whitney en el siglo XX, permitió una enorme generalización de resultados como los anteriores. Los mayores logros fueron la demostración de Hirzebruch del teorema general de Riemann-Roch para cualquier dimensión, que unificaba y generalizaba en una sola fórmula todos los resultados anteriores, y el teorema del índice de Atiyah-Singer, uno de los logros más importantes del siglo XX (le valió a Atiyah la medalla Fields en 1966), que produjo extensiones de estos resultados permitiendo comprender propiedades de las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales en términos de topología. Las aplicaciones de estos dos teoremas son enormes: cabe señalar que las ecuaciones diferenciales parciales son esenciales para la modelización matemática de todo tipo de fenómenos.

A pesar de la importancia de los espacios con singularidades, no fue hasta 1974 cuando las contribuciones de muchos matemáticos proporcionaron generalizaciones a espacios singulares de algunos de los resultados mencionados anteriormente. No fue hasta hace unos 15 años cuando Brasselet, Schürmann y Yokura demostraron una teoría de unificación para variedades singulares similar a la que Hirzebruch dio en el caso liso.

Pero la generalización Brasselet-Schurmann-Yokura dejó pendiente una conjetura abierta que es crucial para un importante tipo de aplicaciones. En 2020-2021, en dos trabajos, Javier Fernández de Bobadilla e Irma Pallarés Torres (el segundo con M. Saito) dieron dos pruebas diferentes de la conjetura. El primer trabajo está en revisión y el segundo aceptado en el Journal of the European Mathematical Society.

Matemáticas puras

A lo largo de la historia de la ciencia, se ha demostrado cómo las matemáticas puras han sido esenciales para el avance de otras áreas científicas, así como para su aplicación en la vida cotidiana. Sin embargo, las matemáticas puras no se desarrollan a propósito para resolver un problema aplicado concreto. El éxito de su utilidad se debe al interés de los investigadores por explorar un área pura de las matemáticas por el simple hecho de querer comprenderla, y de ahí surgen resultados matemáticos que esperan ser aplicados por las generaciones futuras.

Sobre Irma y Javier

Irma Pallarés Torres es originaria de La Vall d'Uixó, Castellón. Se doctoró en BCAM y en la Universidad del País Vasco (UPV/EHU) bajo la supervisión de Javier Fernández de Bobadilla y Juan José Nuño Ballesteros. Actualmente es investigadora postdoctoral en KU Leuven, Bélgica.

Javier Fernández de Bobadilla es Profesor de Investigación Ikerbasque en BCAM y líder de la línea de investigación de Teoría de la Singularidad y Geometría Algebraica, originario de Granada.