Entendiendo la Geometría Algebraica, la Teoría de Singularidades y el Álgebra Conmutativa

• Ilya Smirnov, liderará el proyecto financiado por la convocatoria “Europa Excelencia “ explorando tres áreas matemáticas esenciales en el mundo de las ecuaciones y las formas geométricas: la intersección de la Geometría Algebraica, la Teoría de Singularidades y el Álgebra Conmutativa para fortalecer conexiones matemáticas

El investigador Ikerbasque Research Fellow Ilya Smirnov, lidera un nuevo proyecto de investigación financiado a través de la convocatoria "Europa Excelencia" de la Agencia Estatal de Investigación. Este proyecto, llamado "LEMUR," se encuentra en la intersección de tres áreas fundamentales de las matemáticas: la Teoría de Singularidades, la Geometría Algebraica y el Álgebra Conmutativa.

La Geometría Algebraica es una parte de las matemáticas que se dedica a estudiar las formas geométricas que están definidos con sistemas de ecuaciones.  Por ejemplo, y = x² es la ecuación de parabola y y² + x² = 1 representa el circulo. Por otro lado, la Teoría de Singularidades se enfoca en entender puntos especiales (singularidades), como una auto-intersección, en las formas geométricas. Finalmente, el Álgebra Conmutativa es más sobre el trabajo con las ecuaciones, se origina a partir de intentos de resolverlos.

El proyecto LEMUR tiene un propósito fundamental: fortalecer las conexiones entre el álgebra local y la geometría algebraica. Para lograrlo, se abordarán cuestiones cruciales relacionadas con la creación de espacios de moduli estables y la naturaleza de las singularidades permitidas en estos espacios.

En el contexto de la geometría algebraica, uno de los temas más importantes es la teoría de moduli. Uno de sus aspectos es entender deformaciones de las formas, cuando una deformación surge del cambio de un coeficiente en un sistema de ecuaciones. Durante tales deformaciones una forma suave (sin singularidades) puede recibir singularidades. Para la intuición, al presionar un círculo desde lados opuestos se obtendrá la forma “8”.

Un problema muy difícil es entender que formas son límites de formas suaves. En cambio, un método conveniente es construir formas "estables" que extienden las suaves así que la deformación de una forma estable permanezca estable. La teoría geométrica de invariantes, desarrollada por David Mumford en 60s, da un enfoque para definir formas estables. En 1974 Mumford recibió la medalla Fields, el mayor honor en matemáticas, para su trabajo en la teoría de moduli.

Desafortunadamente, es difícil reconocer si una forma es estable. Mumford estableció restricciones sobre las singularidades permitidas en sus formas estables utilizando la teoría de la multiplicidad, así generó una nueva conexión entre algebra conmutativa y geometría algebraica. Esta nueva propiedad algebraica no se ha desarrollado más en ese momento quizás por falta de herramientas. El proyecto LEMUR tiene como objetivo ampliar el trabajo de Mumford y avanzar en el desarrollo de las herramientas de álgebra local que se derivan del trabajo de Mumford y obtener una comprensión más profunda de las propiedades algebraicas de las singularidades permitidas.

El liderazgo de Ilya Smirnov en este proyecto es crucial, ya que aporta su experiencia y conocimientos en estos campos matemáticos interrelacionados. La financiación otorgada a través de la convocatoria "Europa Excelencia" de la Agencia Estatal de Investigación permitirá que este proyecto avance y contribuirá a la expansión de nuestro entendimiento en el ámbito de la geometría algebraica y las singularidades en las variedades estables. Este proyecto representa un emocionante avance en la investigación matemática y cuenta con el potencial de impactar positivamente en diversas disciplinas.