Geometria Aljebraikoa, Singulartasunen Teoria eta Aljebra Trukakorra ulertzea

• Ilya Smirnov izango da “Europa Excelencia” deialdiak finantzatu duen proiektuaren zuzendaria. Proiektuak ekuazioen eta forma geometrikoen munduan funtsezkoak diren hiru alor matematiko aztertuko ditu –Geometria Aljebraikoa, Singulartasunen Teoria eta Aljebra Trukakorra– konexio matematikoak indartzeko.

Ikerbasque Research Fellow ikertzailea den Ilya Smirnov izango da Estatuko Ikerketa Agentziaren “Europa Excelencia” deialdiaren bidez finantzatuko den ikerketa proiektu berriaren burua.. "LEMUR" izeneko proiektu hori matematiken hiru funtsezko eremuren arteko ebakipuntuan kokatzen da: Singulartasunen Teoria, Geometria Aljebraikoa eta Aljebra Trukakorra.

La Geometria Aljebraikoa ekuazio sistemekin definituta dauden forma geometrikoak aztertzen dituen matematiken zatia da. Esaterako, y = x² da parabolaren ekuazioa, eta y² + x² = 1, berriz, zirkuluarena. Bestalde, Singulartasunen Teoriak puntu bereziak (singulartasunak) ulertzea du helburu, hala nola auto-ebakipuntu bat, forma geometrikoetan. Azkenik, Aljebra Trukakorrak ekuazioekin lan egiten du eta ekuazio horiek ebazteko saiakeretatik sortzen da.

LEMUR proiektuak xede nagusi argi bat dauka: tokiko aljebraren eta geometria aljebraikoaren arteko konexioak indartzea. Horretarako, moduli espazio egonkorren sorrerarekin eta espazio horietan onartzen diren singulartasunen izaerarekin lotutako funtsezko gaiak landuko dira.

Gometria aljebraikoaren testuinguruan, moduliren teoria da gai garrantzitsuenetako bat. Teoria horrek alderdietako bat formen deformazioak ulertzean datza, deformazioa ekuazio sistema bateko koefiziente bat aldatzetik eratortzen denean. Deformazio horietan zehar, forma leun batek (singulartasunik gabea) singulartasunak jasotzea gerta liteke. Intuiziorako, zirkulu bat aldamenetatik zanpatzean, “8” forma bat lortuko dugu.

Forma leunen mugak zein forma diren ulertzea oso problema zaila da. Aldiz, metodo egokia da forma leunak zabaltzen dituzten forma “egonkorrak” eraikitzea; horrela, forma egonkor baten deformazioa egonkor mantenduko da. David Mumfordek 60ko hamarkadan garatu zuen inbarianteen teoria geometrikoak forma egonkorrak definitzeko ikuspuntua eskaintzen du. 1974. urtean, Mumfordek Fields domina jaso zuen, hots, matematiken arloko ohorerik handiena, moduliren teorian egindako lanagatik.

Zoritxarrez, zaila da forma bat egonkorra den ala ez jakitea. Mumfordek bere forma egonkorretan onargarriak ziren singulartasunei buruzko murrizketak ezarri zituen, aniztasunaren teoria baliatuta, eta horrela sortu zuen aljebra trukakorraren eta geometria aljebraikoaren arteko konexio berria. Propietate aljebraiko berri hori ez zen gehiago garatu momentu hartan, agian tresnarik ez zegoelako. LEMUR proiektuaren helburua honako hau da: Mumforden lana zabaldu eta bere lanetik eratorritako tokiko aljebra tresnak garatzen jarraitzea, onargarriak diren singulartasunen propietate aljebraikoen ezaguera sakonagoa lortzearekin batera.

Ilya Smirnoven zuzendaritza ezinbestekoa da proiektu honetan, elkarri lotuta dauden arlo matematiko hauetan dituen esperientzia eta ezaguerak ekartzen baititu. Estatuko Ikerketa Agentziaren “Europa Excelencia” deialdiaren bidezko finantzaketari esker, proiektuak aurrera egingo du eta gaur egun dugun geometria aljebraikoaren eta aldagai egonkorren singulartasunen inguruko ezaguera zabaltzen lagunduko du.

Proiektua aurrerapauso zirraragarria da ikerketa matematikoarentzat, eta hainbat diziplinatan inpaktu positiboa lortzeko potentziala dauka.