Matemáticos de BCAM resuelven una conjetura de hace 54 años usando una conexión entre la geometría algebraica y geometría simpléctica

• La conjetura pertenece a la geometría algebraica, que se centra en las soluciones de ecuaciones polinómicas y tiene una naturaleza rígida y aritmética. Sorprendentemente, se ha demostrado con técnicas flexibles de dinámica simpléctica (basada en las leyes del movimiento de la mecánica clásica).
   
• Formulada por Zariski, se remonta a 1970 y es uno de los problemas clásicos de la Teoría de Singularidades en Geometría Algebraica. El matemático bielorruso planteó en uno de sus trabajos ocho preguntas y ésta era la única que seguía sin respuesta 50 años después.
   
• Este trabajo ha sido publicado en la revista Annals of Mathematics, prestigiosa revista científica, especializada en matemáticas, publicada por la Universidad de Princeton y el Institute for Advanced Study.

Un equipo de investigadores de BCAM- Basque Center for Applied Mathematics e Ikerbasque, formado  Javier Fernández de Bobadilla - Profesor de Investigación Ikerbasque y Group Leader de la línea de Teoría de Singularidades y Geometría Algebraica en BCAM; y Tomasz Pełka- Investigador posdoctoral en BCAM- ha logrado resolver una conjetura un problema que llevaba abierta más de cinco décadas.

Este trabajo ha sido publicado en la revista Annals of Mathematics, prestigiosa revista científica, especializada en matemáticas, publicada por la Universidad de Princeton y el Institute for Advanced Study.

Utilizando un innovador enfoque que vincula la geometría algebraica con la geometría simpléctica, los científicos han demostrado la conjetura, poniendo de manifiesto la poderosa capacidad de las matemáticas de tender puentes entre distintas ramas del conocimiento.

Esta conjetura resuelta por Fernández de Bobadilla y Pełka se enmarca en la Teoría de Singularidades en Geometría Algebraica. Esta teoría estudia los puntos especiales en figuras geométricas definidas por ecuaciones algebraicas, donde estas figuras no son suaves. Por ejemplo, en una curva, estos puntos singulares pueden ser lugares donde la curva se cruza a sí misma o tiene una punta afilada en lugar de una suave. La mencionada teoría busca entender, clasificar y describir estos puntos singulares para comprender mejor las propiedades globales de la figura. Al identificar y analizar las singularidades, los matemáticos pueden obtener una visión más completa de la estructura y el comportamiento de las figuras geométricas. Las singularidades aparecen frecuentemente en ciencias naturales y sociales: agujeros negros en física, mecanica de fluidos, puntos de equilibrio en problemas de optimización, bifurcaciones en sistemas dinámicos...

Oscar Zariski (Polonia, 1899 – EEUU 1986) fue un matemático bielorruso-estadounidense que hizo contribuciones imprescindibles en el campo de la geometría algebraica y cuyo trabajo y profunda influencia perdura en el desarrollo de las matemáticas contemporáneas. Zariski fundó la Teoría de Equisingularidad, que trata de estudiar y comparar la complejidad de las distintas singularidades que pueden aparecer. En 1970, en uno de sus trabajos pioneros, planteó ocho preguntas, de las cuales siete han ido resolviéndose por distintos investigadores a lo largo de los años (en 2005 el propio Fernández de Bobadilla resolvió una de ellas).  Sólo la conjetura de la multiplicidad permanecía abierta y en ella el caso más estudiado es conocido como “la conjetura de la multiplicidad en familia”. Este caso, que destaca en importancia por su relación con el enfoque de otras escuelas de Teoría de Singularidades como las de Arnol’d y Teissier es el problema resuelto por Fernández de Bobadilla y Pełka.

El trabajo de  Fernández de Bobadilla y Pełka sigue la senda abierta por matemáticos como M. McLean que establecen conexiones entre la teoría de singularidades en geometría algebraica y la teoría de dinámica simpléctica, curvas pseudoholomorfas (de Gromov, Floer y otros), combinándola a su vez con otras técnicas muy recientes de geometría híbrida y tropical, que han culminando en la solución de la conjetura de Zariski en familia.

Este avance no solo resuelve un problema matemático intrincado, sino que es un ejemplo más de como la combinación de técnicas de naturaleza muy diversa, y los puentes entre distintos estilos de pensamiento matemático, permiten resolver problemas cuyo tratamiento no parece posible enfocándolos con técnicas de un solo ámbito: "Este resultado no solo resuelve una pregunta antigua, sino que también fortalece el puente entre diferentes áreas de las matemáticas, mostrando cómo ideas aparentemente distantes pueden converger en un único marco dando lugar a aplicaciones muy fértiles”, explica Javier Fernández de Bobadilla.

La conexión entre geometría algebraica y simpléctica tiene otras muchas manifestaciones, una de las cuales la simetría especular, motivada por desarrollos en física teórica, es uno de los temas de temas de investigación más activos e importantes en matemáticas en la actualidad. Este mismo año la Fundación BBVA ha concedido el Premio Fronteras del Conocimiento a C. Voisin y Y. Eliashbergh precisamente por contribuciones fundamentales que establecen conexiones entre la geometría algebraica y la geometría simpléctica, incluyendo avances en simetría especular.

FUTURAS IMPLICACIONES

El trabajo realizado por los matemáticos de BCAM subraya la importancia las matemáticas como disciplina que continúa demostrando su capacidad para impulsar descubrimientos que trascienden los límites de las ciencias naturales y sociales, aunque muchos de sus avances sean descubiertos motivados por el desarrollo interno de las matemáticas en sí mismas. Descubrimientos como el de Fernández de Bobadilla y Pełka abren nuevas puertas e ilustra cómo los problemas abiertos y las conjeturas pueden actuar como motores para el progreso matemático, inspirando la creación de nuevas teorías y métodos que transforman nuestra comprensión del mundo natural y matemático que nos rodea. En este caso, ideas que provienen en última instancia de mecánica clásica han demostrado su conexión y efectividad en problemas que provienen del álgebra.

Esto demuestra la importancia de la curiosidad intelectual y la interdisciplinariedad en la búsqueda del conocimiento humano. Esta interdisciplinariedad es una constante en el desarrollo histórico de las matemáticas y su interacción con otras ciencias. Es la combinación del diálogo constante con otras ciencias, desarrollo independiente de ellas y abstracción de ideas y estructuras que pueden ser aplicadas en contextos muy distintos, lo que hace de las matemáticas una ciencia tremendamente efectiva.

BREVE CV  DE LOS INVESTIGADORES   

Javier Fernández de Bobabilla es Profesor de Investigación Ikerbasque y Group Leader de Teoría de Singularidades y Geometría Algebraica en BCAM - Centro Vasco de Matemática Aplicada, y su línea de investigación es Geometría Algebraica, Topología y Teoría de Singularidades.            Demostró en 2011, junto a María Pe Pereira (profesora de la Facultad de Ciencias Matemáticas y miembro del Instituto de Matemática Interdisciplinar de la Universidad Complutense de Madrid), una conjetura que John Nash enunció a mediados de los años sesenta, también relacionada con el estudio de singularidades.    

Fernández de Bobadilla logró una ERC Starting Grant en 2008 y una ERC Consolidator Grant en 2014. Se doctoró en Nijmegen (Paises Bajos, 2001), y ha trabajado en la Universidad de Utrecht, UNED y CSIC. Además, es miembro del Institute for advanced Study (Princeton, EE.UU) y ha sido profesor visitante en el Instituto RENYI de Matemáticas (Hungría), en el IMPA, (Brasil), y ha dirigido una cátedra Jean Morlet en el CIRM (Marsella).      
 

Tomasz Pełka es profesor asociado en la Universidad de Varsovia. Su área de investigación es la geometría algebraica afín y la teoría de las singularidades. Junto a Karol Palka (profesor de IM PAN, Polonia) completó una clasificación conjetural de curvas cuspidales racionales planas, un teorema con aplicaciones a las singularidades de superficies.  
Su tesis doctoral, defendida en IM PAN en 2019, extiende este resultado a una clase importante de superficies afines, con topología simple. Desde entonces ha trabajado en la Universidad de Berna, en BCAM, y ha sido investigador visitante en CIRM, Marsella y en el Instituto Renyi, Budapest.