BCAM-eko matematikariek duela 54 urteko aieru bat ebatzi dute geometria aljebraikoaren eta geometria sinplektikoaren arteko lotura erabiliz

• Aierua geometria aljebraikoari dagokio; ekuazio polinomikoen soluzioetan zentratzen da, eta izaera zurruna eta aritmetikoa du. Harrigarria bada ere, dinamika sinplektikoko teknika malguekin frogatu da (mekanika klasikoaren mugimenduaren legeetan oinarritua).
• Zariskik egindako aierua, 1970ekoa, Singulartasun Teoriaren problema klasikoetako bat da. Matematikari bielorrusiarrak zortzi galdera egin zituen bere lanetako batean, eta hau zen 50 urte geroago erantzunik gabe jarraitzen zuen bakarra.
• Lan hau Annals of Mathematics aldizkarian argitaratu da. Aldizkari zientifiko ospetsua da, matematiketan espezializatua, eta Princeton-go Unibertsitateak eta Institute for Advanced Studyk argitaratzen dutena.

BCAM- Basque Center for Applied Mathematics eta Ikerbasque-ko ikertzaile-talde bat, Javier Fernández de Bobadilla – Ikerbasque ikerketa-irakaslea eta BCAMeko Singulartasun eta Geometria Algebraikoaren Teoriaren ikerketa-lerroko burua-; eta Tomasz Pełka – BCAM-ko doktoretza-ondoko ikertzailea- osatua, bost hamarkada baino gehiago irekita zeraman arazo bat konpontzea lortu du.

Lan hau Annals of Mathematics aldizkarian argitaratu da, matematikan espezializatutako aldizkari zientifiko ospetsuan, Princetongo Unibertsitateak eta Institute for Advanced Study-k argitaratua.

 

Geometria aljebraikoa geometria sinpletikoarekin lotzen duen ikuspegi berritzaile bat erabiliz, zientzialariek aierua frogatu dute, agerian utziz matematikak gaitasun handia duela ezagutzaren adar desberdinen artean zubiak eraikitzeko.

 

Fernández de Bobadilla-k eta Pełka-k ebatzitako aieru hau Geometria Aljebraikoko Singulartasun teorian kokatzen da. Teoria honek ekuazio aljebraikoen irudi geometrikoen puntu bereziak aztertzen ditu, alegia, non irudi horiek leunak ez diren. Adibidez, kurba batean, puntu berezi horiek kurbak bere burua gurutzatzen dituen tokiak, edo punta leun baten ordez punta zorrotz bat dutenak izan daitezke.

 

Aipatutako teoriak puntu berezi horiek ulertu, sailkatu eta deskribatu nahi ditu, irudiaren propietate globalak hobeto ulertzeko. Singulartasunak identifikatu eta aztertzean, matematikariek irudi geometrikoen egituraren eta portaeraren ikuspegi osoagoa lor dezakete. Berezitasunak maiz agertzen dira natura- eta gizarte-zientzietan: zulo beltzak fisikan, fluidoen mekanika, oreka-puntuak optimizazio-arazoetan, adarkatzeak sistema dinamikoetan...

 

Oscar Zariski (Polonia, 1899 – AEB 1986) matematikari bielorrusiar eta estatubatuarra izan zen. Geometria algebraikoan ezinbesteko ekarpenak egin zituen, eta izan ere, matematika garaikidearen garapenean bere lanak eta eraginak diraute. Zariskik Ekisingularitatearen Teoria sortu zuen, ager daitezkeen berezitasunen konplexutasuna aztertzen eta alderatzen saiatzen dena. 1970ean, bere lan aitzindarietako batean, zortzi galdera egin zituen, eta horietatik zazpi hainbat ikertzailek ebatzi dituzte urteetan zehar (2005ean Fernández de Bobadillak berak horietako bat ebatzi zuen). Multiplizitatearen aierua bakarrik zegoen irekita, eta hor kasurik aztertuena "familiako multiplizitatearen aierua" bezala ezagutzen da. Kasu hau, Arnol 'd eta Teissier bezalako Singulartasunen Teoriako beste eskola batzuen ikuspegiarekin duen loturagatik nabarmentzen dena, Fernández de Bobadilla y Pełkak ebatzitako arazoa da.

 

Fernández de Bobadillaren eta Pełkaren lanak M. McLean bezalako matematikariek irekitako bideari jarraitzen dio. Geometria aljebraikoaren singulartasun teoriaren teoriaren eta dinamika sinpletikoaren teoriaren arteko loturak ezartzen dituzte, kurba pseudoholomorfoak (Gromov, Floer eta beste batzuenak), eta, aldi berean, geometria hibridoko eta tropikaleko beste teknika oso berri batzuekin konbinatzen dute. Teknika horiek, hain zuzen, Zariskik familian duen aierua konpontzen amaitu dute.

 

Aurrerapen honek arazo matematiko korapilatsu bat ebazteaz gain, arlo bakarreko tekniken bidez tratatu ezin daitezkeen problemak ebazteko aukera ematen du, izaera desberdineko tekniken konbinazioak eta matematika-estilo desberdinen arteko zubiak erabiliz: "Emaitza honek, galdera zahar bat ebazteaz gain, matematikako arlo ezberdinen arteko zubia indartzen du, itxuraz urrun dauden ideiak esparru bakar batean nola elkartu daitezkeen erakutsiz, oso aplikazio emankorrak sortuz", azaldu du Javier Fernández de Bobadillak.

 

Geometria aljebraikoaren eta sinplektikoaren arteko loturak beste adierazpen asko ditu. Horietako bat ispilu-simetria da. Fisika teorikoan egindako garapenek eragin dute, eta gaur egun matematikan dauden ikerketa-gai aktibo eta garrantzitsuenetako bat da. Aurten bertan, BBVA Fundazioak Fronteras del Conocimiento Saria eman die C. Voisin eta Y. Eliashbergh zientzialarie, geometria aljebraikoaren eta geometria sinplektikoaren arteko loturak ezartzen dituzten funtsezko ekarpenengatik, simetria espekularreko aurrerapenak barne.

 

ETORKIZUNERAKO INPLIKAZIOAK         

BCAMeko matematikariek egindako lanak matematikaren garrantzia azpimarratzen du, natur eta gizarte zientzien mugak gainditzen dituzten aurkikuntzak bultzatzeko gaitasuna erakusten jarraitzen duelako, nahiz eta aurrerapen asko matematikaren beraren barne-garapenak eraginda aurkitu.

 

Fernández de Bobadilla eta Pelka egindako bezalako aurkikuntzek ate berriak irekitzen dituzte eta agerian uzten dute problema irekiek eta aieruek nola joka dezaketen aurrerapen matematikorako motor gisa, inguratzen gaituen mundu natural eta matematikoaren ulermena eraldatzen duten teoria eta metodo berrien sorrera inspiratuz. Kasu honetan, mekanika klasikotik datozen ideiek aljebratik datozen arazoetan duten lotura eta eraginkortasuna erakutsi dute.          

Horrek erakusten du zein garrantzitsua den jakin-min intelektuala eta diziplinartekotasuna giza ezagutzaren bilaketan. Diziplinartekotasun hori matematikaren garapen historikoan eta matematikak beste zientzia batzuekin duen elkarreraginean etengabea da. Beste zientzia batzuekin etengabeko elkarrizketa izatea, haien garapen independentea eta testuinguru oso desberdinetan aplika daitezkeen ideia eta egituren abstrakzioa dira matematika izugarri eraginkorra bihurtzen dutenak.

IKERTZAILEEN CV LABURRA       
 

Javier Fernández de Bobabilla Singulartasun Teoria eta Geometria Algebraikoko Ikerbasque Ikerketa irakaslea eta BCAM - Matematika Aplikatuko Euskal Zentroan Group Leader-ra da. Haren ikerketa-ildoa Geometria Algebraikoa, Topologia eta Singulartasun Teoria da.

2011n, María Pe Pereirarekin batera (Matematika Zientzien Fakultateko irakaslea eta Madrilgo Unibertsitate Konplutentseko Diziplina arteko Matematika Institutuko kidea), John Nashek hirurogeiko hamarkadaren erdialdean aipatu zuen aieru bat frogatu zuen, singulartasun azterketarekin ere zerikusia zuena.

Fernández de Bobadillak ERC Starting Grant bat lortu zuen 2008an eta ERC Consolidator Grant bat 2014an. Nijmegen (Herbehereak, 2001) doktoratu zen, eta Utrechteko Unibertsitatean, UNEDen eta CSICen lan egin du. Gainera, Institute for advanced Study (Princeton, EE.UU) erakundeko kidea da, eta irakasle bisitaria izan da Matematikako RENYI Institutuan (Hungaria), IMPAn (Brasil), eta Jean Morlet katedra bat zuzendu du CIRMn (Marseilla).

 

Tomasz Pełka

Varsoviako Unibertsitateko irakasle elkartua da Tomasz Pełka. Geometria aljebraiko afinean eta singulartasun teoria ditu ikerketa-eremu. Karol Palkarekin (IM PANeko irakaslea, Polonia) batera, kurba kuspidal arrazional lauen sailkapen konjeturala osatu zuen, gainazalen berezitasunei aplikatutako teorema bat.

 

Bere doktore-tesian, 2019an IM PANen defendatua, emaitza hori topologia sinpleko gainazal afineko mota garrantzitsu batera zabaltzen du. Ordutik Bernako Unibertsitatean lan egin du, BCAMen, eta ikertzaile bisitaria izan da CIRMen, Marseillan eta Budapesteko Renyi Institutuan.